Мера квантовой запутанности чистых состояний

Сергей Иванович Доронин

(Сокращенный вариант из http://quantmagic.narod.ru/volumes/VOL112004/p1123.pdf)

Сделана попытка во всех деталях, с максимально подробными пояснениями и примерами показать, как применяется математический формализм при количественном анализе квантовой запутанности. Проанализирована мера запутанности двухсоставных чистых состояний, предложенная Беннеттом

(C.H. Bennett) с соавторами, и основанная на понятии энтропии фон- Неймана редуцированных матриц плотности. Рассмотрено также понятие согласованности (concurrence) и аналитический метод для вычисления согласованности, предложенный Вуттерсом (W.K. Wootters) с использованием “spin-flip” преобразования (матрицы “перевернутых спинов”).

Введение

Такие специфические черты квантовых систем, как наличие нелокальности (квантовой запутанности), не имеют аналога в классической физике и кажутся удивительными для тех, кто привык иметь дело с классическим описанием. Первым, кто обратил внимание на эту особенность квантовых систем, был Эйнштейн, который в 1935 г. на примере запутанных состояний ЭПР пары [1] пытался доказать неполноту описания мира квантовой механикой. Возможность существования мгновенного действия на расстоянии ему казалась противоестественной, и в этом контексте он употреблял термин “телепатия” [2]. Эйнштейн исходил из привычных представлений, и ему казалось правильным считать, что если две системы A и B ространственно разделены, тогда при полном описании физической реальности действия, выполненные над системой А, не должны изменять свойства системы В. Этот принцип часто называют принципом локальности Эйнштейна [3]. Своим примером с ЭПР парой Эйнштейн пытался доказать, что квантовая механика “ущербна”, что она не способна полностью и однозначно описать реальность в принципе. Отсюда возникло предположение о скрытых параметрах, которые могут помочь вернуться к привычному локальному описанию объектов. Однако конечный результат исследования этой проблемы оказался противоположным. В итоге оказалось, что более правильным является именно квантовомеханический подход, и результат такого подхода не совместим с предположением, что наблюдаемые локальные свойства объекта существуют до наблюдения (декогеренции) в качестве объективных самостоятельных характеристик объекта. Первый реальный шаг к такому выводу сделал Белл в 1964 г., когда он, анализируя ситуацию со скрытыми параметрами, сформулировал свои знаменитые неравенства [4]. Он ввел понятие “объективной локальной теории”, которой придерживались Эйнштейн и сторонники скрытых параметров. В этой теории предполагается, что физические свойства системы существуют сами по себе, они объективны и не зависят от измерения; измерение одной системы не влияет на результат измерения другой системы;

Термин “квантовая система” означает только то, что система описывается методами квантовой теории, т.е. в терминах вектора состояния, матрицы плотности и т.д., при этом размер системы может быть любой, в том числе макроскопический. /поведение системы зависит лишь от условий в более ранние моменты времени/. Это привычные для всех нас представления об окружающей реальности.Теорема Белла утверждает, что “объективная локальная теория” и квантовая механика дают разные предсказания для результатов измерения. Поэтому естественно возник вопрос, какой же на самом деле реальный мир, и неравенства Белла помогают ответить на него непосредственно, из анализа результатов эксперимента. Такие эксперименты были проведены А. Аспектом и многочисленными последующими экспериментами. Результаты экспериментов показывают, что окружающая нас реальность является квантовой в своей основе, и все предположения “объективной локальной теории”, сделанные выше, в общем случае несправедливы. Помимо этого, возможность практической реализации нелокальных запутанных состояний в физическом эксперименте, привлекло пристальное внимание к этому ресурсу. Если обратиться к математическому формализму теории, то наиболее простое определение запутанного состояния можно сформулировать для чистого запутанного состояния.

Определение: несепарабельным или чистым запутанным состоянием называется такое состояние составной квантовой системы, волновую функцию которого нельзя представить в виде тензорного произведения волновых функций составляющих ее частей. Если волновая функция может быть представлена в виде подобного произведения, это означает, что система не содержит вообще никаких корреляций – ни классических, ни квантовых, поскольку усреднение любых операторов в этом случае производится независимо для каждой составной части. Следовательно, чистые квантовые состояния бывают либо квантово-коррелированными (запутанными), либо вообще некоррелированными [5].

Пример: Предположим, что у нас есть два спина А и В, которые находятся во внешнем магнитном поле и направлены по полю. Предположим также, что они никогда ранее не взаимодействовали между собой, и сейчас не взаимодействуют. В этом случае, измерение одного спина не влияет на состояние другого спина, и при измерении любого из них мы всегда получим, что каждый из спинов направлен по полю. Такое состояние может быть описано волновым вектором, квадрат амплитуды которого дает вероятность нахождения в данном состоянии (Макс Борн 1926 г.). В данном случае оба спина всегда с вероятностью 1 направлены “вверх”. Такое состояние называется сепарабельным, оно может быть факторизовано, т.е. представлено в виде тензорного произведения волновых функций составляющих ее подсистем, как это показано выше.

В этом случае работает “объективная локальная теория”, т.е. классическая физика, и мы можем считать каждую частицу локальным объектом со своими характеристиками. Но, как можно было заметить, здесь сделано одно очень сильное предположение – о том, что частицы не взаимодействуют между собой. Если это не так, начинает работать квантовая механика, и тогда возникают состояния другого типа. Это суперпозиция состояний, которые не могут быть реализованы одновременно. Спины не могут быть одновременно направлены и “вверх” и “вниз”. А согласно предыдущему рассуждению это именно так – каждый из двух спинов с равной вероятностью 1/2 находится в положении “вверх” и “вниз”. Спины уже нельзя считать независимыми друг от друга, как в первом случае, даже если они находятся на большом расстоянии. Говорят, что они находятся в запутанном состоянии и связаны нелокальными квантовыми корреляциями.

Такая система уже не может быть описана в рамках "объективной локальной теории”. В этом случае подсистемы А и В не существуют в виде реальных локальных объектов, и они не имеют фиксированных физических характеристик. Такая система может “проявиться” и принять какой-то конкретный вид только при взаимодействии с другой системой (измерительным прибором, наблюдателем). Этот процесс называется декогеренцией или нарушением когерентной квантовой суперпозиции состояний при взаимодействии системы с окружением. Другим широко известным примером чистого запутанного состояния является упомянутая ранее ЭПР пара. Которая образуется при распаде одной частицы со спином 0 на две частицы со спинами 1/2 каждая, которые удаляются друг от друга на любое расстояние. Каждое из чистых запутанных состояний обладает дополнительным свойством. Оно является не просто запутанным, а максимально запутанным.

По определению: максимально запутанным состоянием двухсоставной квантовой системы Q (состоящей из подсистем А и В) называются чистые состояния, для которых частичные (редуцированные) матрицы плотности пропорциональны единичной матрице. Частичные матрицы плотности получаются после взятия частичного следа (частичного усреднения) по одной из составляющих частей квантовой системы. Они описывают состояния частей квантовой системы, рассматриваемых по отдельности. Чтобы получить частичную матрицу плотности, редуцированную (усредненную), например, по второй частице, можно воспользоваться простым правилом. Каждый из элементов матрицы нужно взять в "обкладки" из векторов и подействовать ими на второй спин. Из четырех элементов этой матрицы останутся только первый и последний, у которых на второй позиции стоят одинаковые вектора. Если говорить простыми словами, чтобы получить частичную (редуцированную) матрицу плотности по одной из частиц (например, по второй частице), нужно оставить только те матричные элементы, у которых на данной позиции (на второй) стоят одинаковые "цифры" (либо 0, либо 1), при этом одинаковые "цифры" нужно просто "вычеркнуть", уменьшая тем самым размерность матрицы. Остальные матричные элементы (у которых на данной позиции стоят разные "цифры") обращаются в нуль. Эта матрица имеет одно ненулевое собственное значение. Это свойство характерно для любого чистого состояния, т.е. матрица плотности произвольного чистого состояния имеет только одно ненулевое собственное значение, равное единице.

Количественные характеристики запутанности. В терминах энтропии фон- Неймана. Понятие редуцированной матрицы плотности позволяет перейти к количественной характеристике (мере) запутанности. Это можно сделать на основе энтропии фон-Неймана (квантового аналога классической энтропии Шеннона в квантовой теории информации). Характеристика запутанности двухсоставных чистых состояний выражается количественно с помощью простой меры. Эта мера запутанности была предложена Чарльзом Беннеттом (Charles H. Bennett) с соавторами в 1996 г. [6] В случае запутанных состояний редуцированные матрицы плотности обладают ненулевой квантовой энтропией, в то время как энтропия чистого состояния составной квантовой системы равна нулю.

Пояснение. Чтобы найти след (сумму диагональных элементов) от произведения двух матриц необходимо сначала найти логарифм от матрицы. Напомню, для того чтобы найти функцию от матрицы необходимо сначала ее диагонализовать, а затем взять функцию от ее диагональных элементов. Чтобы получить диагональную матрицу достаточно найти ее собственные значения и расположить их на главной диагонали. Следовательно, энтропия чистого состояния равна нулю. Это означает, что никакой информации о чистом состоянии не существует. Это и понятно, поскольку данное состояние никто не измеряет, оно замкнуто, полностью изолировано от внешней среды. У него нет внешнего наблюдателя, в котором бы записывалась информация о взаимодействии, а следовательно и о характеристиках системы. Если бы такой наблюдатель существовал, состояние перестало бы быть чистым запутанным состоянием. Очевидно, что в этом случае энтропия, а следовательно и мера запутанности, не равна нулю. Также очевидно, что эта величина неотрицательная.

Еще раз подчеркну, количественной характеристикой запутанности двухсоставной системы является энтропия частичных, редуцированных матриц плотности. То есть, речь идет о запутанности подсистем между собой. Энтропия, а следовательно и запутанность с окружением чистого состояния (замкнутой системы) равна нулю. Это свидетельствует о том [5], что флуктуации отдельных частей системы взаимосвязаны. При этом степень их корреляции тем больше, чем более случайными они являются по отдельности, поскольку флуктуации в обеих независимо рассматриваемых частях составной системы обусловлены единым источником – чисто квантовыми флуктуациями в составной системе. Можно сказать, что чисто квантовые флуктуации, отвечающие чистому запутанному состоянию составной квантовой системы, при независимом рассмотрении отдельных частей системы переходят в классические флуктуации соответствующих частичных распределений вероятности (т.е. частичных матриц плотности) и описываются энтропией этих распределений.

Согласованность. Еще одной широко используемой количественной характеристикой запутанности, непосредственно связанной с предыдущей мерой запутанности, является согласованность (concurrence). Эта характеристика была введена Ч. Беннеттом и В. Вуттерсом с соавторами в работах [7,8]. В работе [9] Вуттерс предложил аналитический метод для вычисления согласованности. Основан он на применении так называемого “spin-flip” преобразования, или матрицы “перевернутых спинов. Полученная в итоге матрица является неэрмитовой, но имеет вещественные и неотрицательные собственные значения [10].

Заключение. Мы подробно рассмотрели только одну из мер запутанности. Существуют и другие количественные характеристики и критерии запутанности. Из них наиболее известные: Peres-Horodecki или PPT (positive partial transpose)- критерий сепарабельности [11], и основанная на нем мера запутанности – отрицательность (negativity) [12,13]; относительная энтропия запутанности (relative entropy of entanglement) [14]; CCN (computable cross-norm) – критерий [15]; мера запутанности, основанная на метрике гильбертова пространства (расстоянии Гильберта-Шмидта), эту меру можно рассматривать как информационное расстояние между двумя состояниями [16]; мера, основанная на ранге Шмидта [17] и некоторые другие.

Литература

[1] A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen, Phys. Rev. 47, 777 (1935).

[2] A. Einstein, in Albert Einstein, Philosopher-Scientist, edited by P. A. Schilpp (Library of Living Philosophers, Evanston, 1949) p. 85.

Квантовая Магия, том 1, вып. 1, стр. 1123-1137, 2004.

[3] J. Preskill, Quantum Computation, Lecture Notes, (1997-99),

http://www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph219/#lecture

[4] J. S. Bell, Physics 1, 195 (1964).

[5] И.В. Баргатин, Б.А. Гришанин, В.Н. Задков, УФН 171 (6), 625 (2001).

[6] C. H. Bennett, H. J. Bernstein, S. Popescu, and B. Schumacher, Phys. Rev. A 53, 2046 (1996).

[7] C. H. Bennett, D. P. DiVincenzo, J. A. Smolin, and W. K. Wootters, Phys. Rev. A 54, 3824 (1996).

[8] S. Hill and W. K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 78, 5022 (1997).

[9] W. K. Wootters, Phys. Rev. Lett. 80, 2245 (1998).

[10] V. Coffman, J. Kundu, and W. K. Wootters, Phys. Rev. A 61, 052306 (2000).

[11] A. Peres, Phys. Rev. Lett. 77, 1413 (1996); M. Horodecki, P. Horodecki, and R. Horodecki, Phys. Lett A 223, 1 (1996).

[12] K. Zyczkowski, P. Horodecki, A. Sanpera, and M. Lewenstein, Phys. Rev. A 58, 883 (1998).

[13] G. Vidal and R.F. Werner, Phys. Rev. A 65, 032314 (2002).

[14] V. Vedral, M.B. Plenio, K. Jacobs, and P.L. Knight, Phys. Rev. A 56, 4452 (1997).

[15] O. Rudolph, Phys. Rev. A, 67, 032312 (2003).

[16] J. Lee, M.S. Kim, Caslav Bruker, Phys. Rev. Lett. 91, 087902 (2003).

[17] J. Eisert, and H.J. Briegel, Phys. Rev. A 64, 022306 (2001).